Chứng minh bất đẳng thức cauchy

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân cùng ứng dụng

Tuyển tập Đề thi demo Toán THPT nước nhà 2020 có lời giải chi tiết

Bài toán 1(Bất đẳng thức Cauchy – schwarz cho tích phân)

Cho $f,g:left< a,b ight> o mathbbR$ là các hàm khả tích trên đoạn $left< a,b ight>$. Lúc ấy ta luôn có

$intlimits_a^bf^2(x)dxintlimits_a^bg^2(x)dxge left( intlimits_a^bf(x)g(x)dx ight)^2$.

Bạn đang xem: Chứng minh bất đẳng thức cauchy

Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi $f=kg$ với số thực $k e 0$.

Chứng minh. Với phần đa $tin mathbbR$ xét bình phương ta luôn có: $intlimits_a^bleft( tf(x)+g(x) ight)^2dxge 0$

Điều này tương tự với: $h(t)=left( intlimits_a^bf^2(x)dx ight)t^2+2left( intlimits_a^bf(x)g(x)dx ight)t+intlimits_a^bg^2(x)dxge 0,forall tin mathbbR$

Trường hợp: $intlimits_a^bf^2(x)dx=0Leftrightarrow f(x)=0$, bất đẳng thức đã chỉ ra rằng đẳng thức.

Trường hợp: $intlimits_a^bf^2(x)dx>0$, đó là tam thức bậc 2 hệ số a dương và luôn luôn không âm, tức biệt thức Delta luôn không dương. Điều này tương tự với $Delta "=left( intlimits_a^bf(x)g(x)dx ight)^2-intlimits_a^bf^2(x)dxintlimits_a^bg^2(x)dxle 0$.

Xem thêm: Bạn Gái Vương Tuấn Khải Có Bạn Gái Chưa, Vương Tuấn Khải Có Bạn Gái Chưa

Vì vậy $intlimits_a^bf^2(x)dxintlimits_a^bg^2(x)dxge left( intlimits_a^bf(x)g(x)dx ight)^2$.

Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xẩy ra khi còn chỉ khi $f=kg$, trong những số đó $k$là hằng số từ bỏ do.

Bài toán 2(Bất đẳng thức Holder tích phân cho các hàm khả tích)

Cho $f,g:left< a,b ight> o mathbbR$ là các hàm khả tích bên trên $left< a,b ight>$ khi ấy ta có

$left| intlimits_a^bf(x)g(x)dx ight|le left( intlimits_a^b f(x) ight^pdx ight)^dfrac1p.left( intlimits_a^b g(x) ight^qdx ight)^dfrac1q$

trong kia $p,q$ là các số thực dương hợp ý $dfrac1p+dfrac1q=1.$

Bài viết được trích từ bài xích giảng và thắc mắc đề thi khoá PRO XMAX áp dụng cao môn Toán tạo ra tại lrocrevn.com

CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ:

Ví dụ 1: Cho hàm số $f(x)$ tất cả đạo hàm liên tục trên đoạn $<0;1>.$ Biết $fleft( 1 ight)=4$ và $intlimits_0^1xf(x)dx=1,intlimits_0^1left< f"(x) ight>^2dx=20.$ Tích phân $intlimits_0^1fleft( x ight)dx$ bằng

Giải.Tích phân từng phần ta có: $1 = intlimits_0^1 xfleft( x ight)dx = intlimits_0^1 fleft( x ight)dleft( dfrac12x^2 ight) = dfrac12x^2fleft( x ight)left| egingathered 1 hfill \ 0 hfill \ endgathered ight. - intlimits_0^1 dfrac12x^2f"left( x ight)dx $

$Leftrightarrow 1=dfrac12fleft( 1 ight)-dfrac12intlimits_0^1x^2f"left( x ight)dxRightarrow intlimits_0^1x^2f"left( x ight)dx=2$

Mặt khác $left< intlimits_0^1x^2f"left( x ight)dx ight>^2le intlimits_0^1x^4dxintlimits_0^1left< f"left( x ight) ight>^2dx=dfrac15 imes 20=4.$

Do kia dấu bằng phải xẩy ra tức $f"left( x ight)=kx^2Rightarrow fleft( x ight)=dfrackx^33+4-dfrack3,left( fleft( 1 ight)=4 ight)$

$Rightarrow 1=intlimits_0^1xfleft( x ight)dx=intlimits_0^1xleft( dfrackx^33+4-dfrack3 ight)dxLeftrightarrow k=10Rightarrow intlimits_0^1fleft( x ight)dx=intlimits_0^1dfrac10x^3+23dx=dfrac32.$ Chọn lời giải B.